Cos'è equazioni differenziali?

Un'equazione differenziale è un tipo di equazione che coinvolge una o più funzioni sconosciute e le loro derivate. Questo tipo di equazione è molto importante in matematica e nelle scienze applicate, poiché permette di descrivere fenomeni che variano nel tempo.

Le equazioni differenziali possono essere classificate in diverse categorie a seconda delle loro proprietà o della classe di funzioni sconosciute coinvolte. Alcuni esempi comuni sono:

1. Equazioni differenziali ordinarie (EDO): coinvolgono una funzione sconosciuta di una sola variabile indipendente. Le derivate coinvolte sono derivate ordinarie, cioè derivate rispetto a questa variabile indipendente. Le EDO sono spesso usate per descrivere fenomeni in fisica, chimica, biologia e ingegneria.

2. Equazioni differenziali parziali (EDP): coinvolgono una o più funzioni sconosciute di più variabili indipendenti. Le derivate coinvolte sono derivate parziali, cioè derivate rispetto a queste variabili indipendenti. Le EDP sono spesso usate per descrivere fenomeni in fisica teorica, ingegneria dei fluidi e teoria delle onde.

3. Equazioni differenziali lineari: le funzioni sconosciute e le loro derivate appaiono solo in modo lineare. Questo significa che le funzioni sconosciute e le loro derivate sono elevate alla prima potenza e non compaiono in prodotti tra di loro.

4. Equazioni differenziali non lineari: le funzioni sconosciute e/o le loro derivate appaiono in modo non lineare, cioè possono essere elevate a potenze diverse da 1 o compaiono in prodotti tra di loro.

La soluzione di un'equazione differenziale implica spesso trovare una funzione che soddisfi l'equazione quando viene inserita in essa. Questa funzione sconosciuta è detta soluzione dell'equazione differenziale. La soluzione può essere espressa in forma analitica, se è possibile trovare una formula che rappresenti esplicitamente la funzione, o in forma numerica, se viene utilizzato un metodo computazionale per approssimare la soluzione.

Le equazioni differenziali sono utilizzate in molti ambiti, tra cui fisica, ingegneria, biologia ed economia, per modellare e risolvere problemi che coinvolgono il cambiamento nel tempo.